高一奥林匹克数学竞赛真题（10道变态难数学题）

hanbang11 • 2023年3月20日 • 头条

说起数学奥林匹克竞赛真题，大部分人都知道，也许有人问10道变态难数学题，下面就和小编来看看数学奥林匹克竞赛真题！

高一奥林匹克数学竞赛真题

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10道变态难数学题

1、有六级台阶，小明从下往上走，若每次只能跨一级或两级，她走上去有几种可能?

2、如果今天是星期六，从明天起2的20次方天后的第一天是星期几？

3、在某月中，星期二的天数比星期三的天数多，星期一的天数比星期天的天数多，则这个月5号是星期几？

4、100的平方-99的平方+98的平方-97的平方+……+2的平方-1的平方是多少？

5、1×2+2×3+3×4+……100×101

6、某次比赛，原立一等奖10人，二等奖20人，现将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得到二等奖的平均分提高了2分，是一等奖的平均分提高了1分，原来一等奖比二等奖的平均分多多少分？

7、某公共汽车线路中间有15个车站，有快慢车两种，快车速度是慢车速度的1.5倍，慢车每站都停，快车则只停中间一站，每站停留时间均2分钟，当每次慢车发出60分钟后，快车从同一始发站开出，辆车恰好到达终点，快车从起点到终点共用多少时间？

8、商业大厦的电梯载着乘客缓缓上移，小明、小红踏上电梯后就往上走，小明走了25级，小红走了15级后，都到达扶梯顶部，如果小明是小红的2倍，则扶梯有多少级？

9、一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车才能继续通行，如果小汽车的速度是大卡车的3倍，两车倒车速度是各自速度，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程4倍，如果小汽车速度为50千米/小时，那么需通过这段狭路最少要用多少小时？

10、游船顺流而下，每小时前进7公里，逆流而上，每小时前进5公里，两条游船同时从同一个地方出发，一条顺流而下，然后返回，一条逆流而上，然后返回，结果，1小时后它们同时回到出发点，问在这1小时内有多少时间这两条船的前进方向相同？

高一奥林匹克数学竞赛真题（10道变态难数学题）

高中数学竞赛题100道

4 已知函数f(x)=ax+1-√(1+x^2)在[0,+∞)上是单调函数，求a的取值范围。

根据函数增减性的定义计算即可。

解：设0≤x1x2，x2-x10，

f(x2)-f(x1)=a(x2-x1)-(√(1+x2^2)-√(1+x1^2))

=a(x2-x1)-[(1+x2^2)-(1+x1^2)]/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))

=a(x2-x1)-(x2^2-x1^2)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))

=(x2-x1)*[a-(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))]

如果f(x)为增函数，则f(x2)-f(x1)0，

所以a-(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))0，

a(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))，∀x∈[0,+∞)

上式右边总是大于0的，但是可以无限趋近于0，所以a≤0。

如果f(x)为减函数，则f(x2)-f(x1)0，

所以a-(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))0，

a(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))，∀x∈[0,+∞)

上式右边总是小于1的，但是可以无限趋近于1，所以a≥1。

xiaofeier8 的解法中，f(x)的导数求错了，

f'(x)=a-x/sqrt(1+x^2)≠a-1/ 2√1+x^2。

1.设a、b满足2a^2+6b^2=3，证明函数f(x)=ax+b在[－1，1]上满足|f(x)|≤√2

解法一：f(x)是一次函数，其最值在端点处取得，故只需要证明|f(1)|≤√2，|f(-1)|≤√2即可，即

|b+a|≤√2，|b-a|≤√2，

可以用解法二的证法，也可以用不等式证明。

因为2*a^2+6*b^2=3，故a^2+b^2=3/2，

由算术平均≤平方平均，

对任意四个非负数x1、x2、x3、x4，有(x1+x2+x3+x4)/4≤sqrt((x1^2+x2^2+x3^2+x4^2)/4) ，

令x1=x2=x3=|a|/3，x4=|b|，

得(|a|+|b|)/4≤sqrt((a^2/3+b^2)/4)=sqrt((a^2+3*b^2)/12)=sqrt((3/2)/12)=1/√8，

所以|a|+|b|≤4/√8=√2，

于是|b+a|≤|a|+|b|≤√2，

|b-a|≤|a|+|b|≤√2。

证毕。

2a^2+6b^2=3变形为：2/3*a^2+2*b^2=1，

即a^2/(3/2)+b^2/(1/2)=1，

设 a=√(3/2)*cos θ，b=√(1/2)*sin θ，

|f(x)|=|ax+b|=|x*√(3/2)*cos θ+√(1/2)*sin θ|

=sqrt(x^2*3/2+1/2)*|sin(θ+φ)|

（利用公式 A*cos α+B*sin α=sqrt(A^2+B^2)*sin(α+ψ)）

≤sqrt(x^2*3/2+1/2)

≤sqrt(1*3/2+1/2) （x^2≤1）

=√2。

证毕。

xiaofeier8 的解法中，把f(x)当成向量值函数f(x)=(ax, b)了，不知道是不是提问者之前输错了。

★我想说一句,在第2题第1问中有人说由于(α+2)(β+2)0得到

αβ+2(α+β)+40

又由韦达定理得b-2a+40

∴2ab+4 但是由2ab+4怎么能得到题目中的2|a|4+b呢?

关于这一问，稍加修改即可得到结果

|α|2, |β|2，故必有α2, β2，

所以(α-2)(β-2)0，

αβ-2(α+β)+40，

由韦达定理，b+2a+40，

即-2ab+4，

结合2ab+4，

故2|a|4+b。

反推回去可以得到第二个命题的证明。这样，四个问题都解决了。不过，你会又有一个问题，采纳谁的答案呢？

数学奥林匹克竞赛真题

小学三年级奥数题及答案

一条路长100米，从头到尾每隔10米栽1棵梧桐树，共栽多少棵树? 路分成100÷10=10段，共栽树10+1=11棵。

12棵柳树排成一排，在每两棵柳树中间种3棵桃树，共种多少棵桃树? 3×棵。

一根200厘米长的木条，要锯成10厘米长的小段，需要锯几次? 200÷10=20段，20-1=19次。

.蚂蚁爬树枝，每上一节需要10秒钟，从第一节爬到第13节需要多少分钟? 从第一节到第13节需10×秒，120÷60=2分。

.在花圃的周围方式菊花，每隔1米放1盆花。花圃周围共20米长。需放多少盆菊花? 20÷1×1=20盆

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