九年级上册数学试卷免费下载（免费提供试卷的软件）

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九年级上册数学试卷免费下载

九年级数学期末考试之前,做好每一份数学试卷的习题,会让你在数学考场中如鱼得水。

苏科版九年级上册数学期末试题

一、填空题(每题2分，共24分.)

1.当x 时， 有意义.

2.计算： .

3.若x=1是关于方程的一个根，则该方程的另一根是 .

4.抛物线 的顶点坐标是 .

5.如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=3cm，则AD的长是 cm.

(第5题图) (第8题图) (第10题图)

6.等腰梯形的上底是4cm，下底是10cm，一个底角是60，则等腰梯形

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初三上册数学大题

数学期末考试的脚步声近了，初三的数学基础知识点你都学会了吗?以下是我为你整理的初三上册数学期末试卷，希望对大家有帮助!

初三上册数学期末试卷

一、精心选一选(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

1.下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后排序

正确的是( )

(A)A→B→C→D (B)D→B→C→A (C)C→D→A→B (D)A→C→B→D

2.已知直角三角形的两边长是方程x2-7 x+12=0的两根，则第三边长为( )

(A)7 (B)5 (C) (D)5或

3.已知3是关于x的方程 x2-2a+1=0的一个解，则2a的值是 ( )

(A)11 (B)12 (C)13 (D)14

4.下列命题中错误的( )

(A)一对邻角互补的四边形是平行四边形;

(B)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形;

(C)等腰梯形的对角线相等;

(D)平行四边形的对角线互相平分.

5.如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与函数y = (x0)的图象

相交于点A、B，设点A的坐标为(x1 ，y1)，那么长为x1,宽为y1

的矩形的面 积和周长分别为( )

(A)4，12 (B)8，12 (C)4，6 ( D)8,6

6.如果点A(-1， )、B(1， )、C( ， )是反比例函数 图象上的三个点，

则下列结论正确的是( )

(A) (B) (C) D)

7.在联欢晚会上 ，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳， 谁先抢到凳子谁获胜，为 使游戏公平，凳子最适当的位置在△ABC的( )

(A)三边中线的交点， (B)三条角平分线的交点 ，

(C)三边上高的交点， (D)三边中垂线的交点

8.边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠 ，使点D落在BC边

中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的

长是( ).

(A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm

二、认真填一填：(本大题共8小题，每小题3分，共24分.)

9.已知 是关于x的方程： 的一个解，则2a-1的值是 .

10.在一个有40万人口的县，随机调查了3000人，其中有2130人看中央电视台的焦点访谈节目，在该县随便问一个人，他看焦点访谈节目的概率大约是______________.

11.菱形有一个内角为600，较短的对角线长为6，则它的面积为 .

12.依次连接菱形各边中 点所得到的四边形是 .

13.如图，一几何体的三视图如右：

那么这个几何体是 .

14.用配方法将二次三项式 变形，

结果为 .

15.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为

平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形

面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角

的值等于 .

16.如图，一个正方形摆放在桌面上，则正方形的边长为 .

三、细心做一做(17题每小题6分共12分18题8分)

17.(1)解方程 (2)解方程

18.(8分)如下图，一墙墩(用线段AB表示)的影子是BC，小明(用线段DE表示)的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN .

(1) 试判断是路灯还是太阳光产生的影子，如果是路灯产生的影子确定路灯的位置(用点P表示).如果是太阳光请画出光线.

(2) 在图中画出表示大树高的线段.

(3) 若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树的部分.

四 解答题(19题7分、20题9分)

19.(7分)杨华与季红用5张规格相同的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张.规则如下：

当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分;

当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分(如图2).

问题：游戏规则对双方公平吗?请说明理由;若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平?

20.(9分)如图，已知直线y = – x+4与反比例函数 的图象相交于点A(-2，a)，并且与x轴相交于点B.

(1)求a的值.

(2)求反比例函数的表达式.

(3)求△AOB的面积.

五(21、22题各10分)

21.( 10分)将一块正方形铁皮的四个角剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长.

22.(10分)已知：如图，在ΔABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是ΔABC

外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.

(1)求证：四边形ADCE是矩形

(2)当 ΔABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.

六(23、24题各10分)

23.(10分)某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆 的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元;以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株?

24.(10分)如图，在□ABCD中，∠ DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB.

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形;

(2)若去掉已知条件的“∠ DAB=60°”，上述的结论还成立吗? 若成立，请写出证明过程;若不成立，请说明理由.

七、(12分)

25.已知反比例函数 和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过

(a，b)，(a+2，b+k)两点.

(1)求：反比例函数的解析式.

(2) 如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两函数的图象上.求点A的坐标.

(3)利用(2)的结果，问在x轴上是否存在点P，使得AOP为等腰三角形.

若存在，把符合条件的P点坐标直接写出来;若不存在，说明理由.

八、(14分)

26.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.

(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积 ;

(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在，求出此时BE的长;若不存在，请说明理由;

(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分?若存在，求此时BE的长;若不存在，请说明理由.

初三上册数学期末试卷答案

一.选择题(本大题共8个小题，每题只有一个正确的选项，每小题3分，满分24分)

1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.A 7.D 8.B

二.填空题(本大题共8个小题，每小题3分，满分24分)

9.13 10.0.71 11.18 12.矩形 13.空心圆柱 14. -100 15.30o

16.

三题

17.(1)

………………………………3分

…………………………………5分

……………………………………………6分

18.题略 (1)………3分 (2)………6分 (3)………8分(图作对即可)

四题

19.解：不公平，因为杨华胜的概率为 0.4季红胜的概率为0.6不公平. ………3分

应该为：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得3分; …5分

当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得2分.……7分

20.(本小题9分)

解：(1) 将A(-2，a)代入y=-x+4中，得：a=-(-2)+4 所以 a =6 …………3分

(2)由(1)得：A(-2，6)www. Xkb1.coM

将A(-2，6)代入 中，得到 即k=-12

所以反比例函数的表达式为： ………6分

(3)如图：过A点作AD⊥x轴于D

因为 A(-2，6) 所以 AD=6

在直线y=-x+4中，令y=0，得x=4

所以 B(4，0) 即OB=4

所以△AOB的面积S= ×OB×AD= ×4×6=12………9分

五题(21、22题各10分)

21题(10分)

解：设原正方形的边长为xcm，则这个盒子的底面边长为x-8

由题意列出方程 4(x-8)2=400 ……………………………………………………5分

整理，得 x2 – 16x -36=0

解方程，得 x1 = 18， x2 = -2 ……………………………………………8分

因为正方形的边长不能为负数，所以x2 = -2舍去 ……………………………9分

因此，正方形的边长为18cm

答：原正方形的边长为18cm …………………………………………………10分

22.题(10分)

(1)证明：∵AB=AC, AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD，即∠CAD = ∠BAC

∵AN是ΔABC外角∠CAM的平分线

∴∠CAN= ∠CAM

∴∠CAD+∠CAN= ∠BAC+ ∠CAM=90°

∴∠DAN=9 0° ……………………………………………3分

又∵CE⊥AN ，AD⊥BC

∴ ∠AEC=90°，∠ADC=90°

∴四边形ADCE是矩形 …………………………5分

∵ΔABC为等腰直角三角形时，AD⊥BC

∴AD= BC=DC ……………………………………8分

∵四边形ADCE是矩形

∴四边形ADCE是一个正方形 ………………10分

六题(23、24题各10分)

23.解：设每盆花苗增加 株，则每盆花苗有 株，平均单株盈利为 元，由题意，

得 . ……………………………………………………5分

化简，整理，的 .

解这个方程，得 ………………………………………… ………9分

答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株.………………10分

24.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°

∴∠ADE=∠CBF=60°

∵AE=AD，CF=CB

∴△AED，△CFB是正三角形，ED=BF ………………2分

在 ABCD中，AD=BC，DC∥=AB

∴ED+DC=BF+AB

即 EC=AF ………………3分

又∵DC∥AB

即EC∥AF

∴四边形AFCE是平行四边形 ………………4分

(2)上述结论还成立

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC∥=AB

∴∠ADE=∠CBF

∵AE=AD，CF=CB

∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF

∴∠AED=∠CFB ………………6分

又∵AD=BC

∴△ADE≌△CBF ………………8分

∴ED=FB

∵DC=AB

∴ED+DC=FB+AB

即EC=FA ………………9分

∵DC∥AB

∴四边形AFCE是平行四边形 ………………10分

七题(12分)

25.题

解：(1)(a,b)(a+2, b+k)代入y=2x+1得：

b=2a-1

b+k=2(a+2)-1

解得 k=4 …………………………………………………………………4分

(2)当 =2x-1得

x 1= – 0 .5 x2=1

∵A点在第一象限

∴点A的坐标为(1,1) ………………………………………………………8分

(3)点p( 1,0)p(2,0)p( ,0) p(- ,0)……………………………12分

八题(14分)

26.解：(1)由已知条件得：

梯形周长为24，高4 ，面积为28.

BF=24÷2 –x=12–x ………………………………2分

过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K

则可得：FG= 12-x5 ×4 …………………………3分

∴S△BEF=12 BE•FG=-25 x2+245 x(7≤x≤10)…5分

(2)存在. ……………………… ……………………………6分

由(1)得：-25 x2+245 x=14 ……………………7分

得x1=7 x2=5(不合舍去)

∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7.……8分

(3)不存在 .………………………………………………………………………………9分

假设存在，显然是：S△BEF∶SAFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2……… ……11分

则有-25 x2 +165 x = 283

整理得：3×2-24x+70=0

△=576-8400

∴不存在这样的实数x. ………………………………………………………12分

即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，同时分成1∶2的两部分. ……14分

初三数学真题试卷及答案

2009年广州市初中毕业生学业考试

数 学

满分150分，考试时间120分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ A ）

2. 如图2，AB‖CD，直线 分别与AB、CD相交，若∠1=130°，则∠2=（ C ）

（A）40° （B）50° （C）130° （D）140°

3. 实数 、 在数轴上的位置如图3所示，则 与 的大小关系是（ C ）

（A） （B）

（C） （D）无法确定

4. 二次函数 的最小值是（ A ）

（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2

5. 图4是广州市某一天内的气温变化图，根据图4，下列说法中错误的是（ D ）

（A）这一天中最高气温是24℃

（B）这一天中最高气温与最低气温的差为16℃

（C）这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高

（D）这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低

6. 下列运算正确的是（ B ）

（A） （B）

（C） （D）

7. 下列函数中，自变量 的取值范围是 ≥3的是（ D ）

（A） （B）

（C） （D）

8. 只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ C ）

（A）正十边形 （B）正八边形

（C）正六边形 （D）正五边形

9. 已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图5）所示），则sinθ的值为（ B ）

（A） （B） （C） （D）

10. 如图6，在 ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG= ，则ΔCEF的周长为（ A ）

（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11. 已知函数 ，当 =1时， 的值是________2

12. 在某校举行的艺术节的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，则这组数据的众数是________9.3

13. 绝对值是6的数是________+6,-6

14. 已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：________________________________略

15. 如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第 个“广”字中的棋子个数是________2n+5

16. 如图8是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由________块长方体的积木搭成4

三、解答题（本大题共9小题，满分102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分9分）

如图9，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。

证明：四边形DECF是平行四边形。

18. （本小题满分10分）

解方程

19.（本小题满分10分）

先化简，再求值： ，其中

20.（本小题满分10分）

如图10，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC= ，

（1）求∠BAC的度数； （2）求⊙O的周长

21. （本小题满分12分）

有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有其它任何区别。现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个，且只能放一个小球。

（1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；

（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率。

22. （本小题满分12分）

如图11，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点，且点M的坐标是（1，2）。

（1）写出点A、B的坐标；

（2）求直线MN所对应的函数关系式；

（3）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。

23. （本小题满分12分）

为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动。某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台。

（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？

（2）若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留2个有效数字）？

24.（本小题满分14分）

如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。

（1）若AG=AE，证明：AF=AH；

（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；

（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。

解：(1)易证ΔABF≌ΔADH,所以AF=AH

(2)如图，将ΔADH绕点A顺时针旋转90度，如图，易证ΔAFH≌ΔAFM,得FH=MB+BF,即：FH=AG+AE

(3)设PE=x,PH=y,易得BG=1-x,BF=1-y,FG=x+y-1,由勾股定理，得

（1-x）2+（1-y）2=( x+y-1)2,

化简得xy=0.5,

所以矩形EPHD的面积为0.5.

25.（本小题满分14分）

如图13，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为 。

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB= ,得AB=

设A（a,0）,B(b,0)

AB=b-a= = ，解得p= ,但p0,所以p= 。

所以解析式为：

（2）令y=0，解方程得 ，得 ,所以A( ,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC= ,同样可求得BC= ,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB= ,所以 .

（3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组 得D（ ,9）

②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A( ,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组 得D( )

综上，所以存在两点：（ ,9）或( )。

2009年广州市初中毕业生学业考试

数学试题参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题3分，满分30分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 A C C A D B D C B A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题3分，满分18分.

11. 2 12. 9.3 13.

14. 如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直

15. 15； 16. 4

三、解答题：本大题考查基础知识和基本运算，及数学能力，满分102分.

17．本小题主要考查平行四边形的判定、中位线等基础知识，考查几何推理能力和空间观念．满分9分.

证法1： 分别是边 的中点，

∴ ．

同理 ．

∴四边形 是平行四边形．

证法2： 分别是边 的中点，

∴ ．

为 的中点，

∴ ．

∴ ．

∴四边形 是平行四边形．

18．本小题主要考查分式方程等基本运算技能，考查基本的代数计算能力．满分9分.

解：由原方程得 ，

即 ，

即 ，

∴

检验：当x = 3时, .

∴ 是原方程的根．

19．本小题主要考查整式的运算、平方差公式等基础知识，考查基本的代数计算能力．满分10分.

解：

=

=

= .

将 代入 ，得：

.

20．本小题主要考查圆、等边三角形等基础知识，考查计算能力、推理能力和空间观念．满分10分．

解：（1） ，

∴ ．

（2） ，

∴ ．

∴ 是等边三角形.

求 的半径给出以下四种方法：

方法1：连结 并延长交 于点 （如图1）．

∵ 是等边三角形，

∴圆心 既是 的外心又是重心，还是垂心．

在 中 ， ，

∴ ．

∴ ，即 的半径为 ．

方法2：连结 、 ，作 交 于点 （如图2）．

∴ ．

∴ ．

∵ ，

∴ 中 .

在 中， ，

∴ ，即 .

∴ ，即 的半径为 ．

方法3：连结 、 ，作 交 于点 （如图2）．

是等边三角形 的外心，也是 的角平分线的交点，

∴ ， ．

在 中， ，即 .

∴ .

∴ ，即 的半径为 ．

方法4：连结 、 ，作 交 于点 （如图2）．

是等边三角形的外心，也是 的角平分线的交点，

∴ ， ．

在 中，设 ，则 ，

∵ .

∴ .

解得 ．

∴ ，即 的半径为 ．

∴ 的周长为 ，即 ．

21．本小题主要考查概率等基本的概念，考查．满分12分．

（1）解法1：可画树状图如下：

共6种情况．

解法2：3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况为：红白蓝、红蓝白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红共6种．

（2）解：从（1）可知，红球恰好放入2号盒子的可能结果有白红蓝、蓝红白共2种，

所以红球恰好放入2号盒子的概率 .

22. 本小题主要考查图形的坐标、轴对称图形、尺规作图、一次函数等基础知识，考查用待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力，满分12分.

解：（1） ， ；

（2）解法1：∵直线 经过坐标原点，

∴设所求函数的关系式是 ，

又点 的坐标为（1，2），

∴ ，

∴直线 所对应的函数关系式是 ．

解法2：设所求函数的关系式是 ，

则由题意得：

解这个方程组，得

∴直线 所对应的函数关系式是 ．

（3）利用直尺和圆规，作线段 关于直线 的对

称图形 ，如图所示．

23．本小题主要考查建立二元一次方程组模型解决简单实际问题的能力，考查基本的代数计算推理能力．满分12分．

解：（1）设启动活动前的一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为 、 台．

根据题意得

解得

∴启动活动前的一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为560台和400台．

（2）I型冰箱政府补贴金额： 元，

II 型冰箱政府补贴金额： 元．

∴启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共补贴金额：

元

答：启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共约补贴农户 元.

24. 本小题主要考查正方形、矩形、三角形全等等基础知识,考查计算能力、推理能力和空间观念．满分14分．

（1）证明1：在 与 中，

∵ ， ，

∴ ≌ ．

∴ ．

证明2：在 中， ．

在 中， ．

∵ ， ，

∴ ．

（2）证明1：将 绕点 顺时针旋转 到 的位置．

在 与 中，

∵ ， ，

，

∴ ≌ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

证明2：延长 至点 ，使 ，连结 ．

在 与 中，

∵ ， ，

∴ ≌ ．

∴ ， ．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

∴ ≌ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

（3）设 ， ，则 ， ．( )

在 中， ．

∵ 的周长为1，

∴ ．

即 ．

即 ．

整理得 ． （*）

求矩形 的面积给出以下两种方法：

方法1：由（*）得 ． ①

∴矩形 的面积 ②

将①代入②得

．

∴矩形 的面积是 ．

方法2：由（*）得 ，

∴矩形 的面积

=

=

=

∴矩形 的面积是 ．

25. 本小题主要考查二次函数、解直角三角形等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念．满分14分．

解：（1）设点 其中 .

∵抛物线 过点 ，

∴ .

∴ .

∴ .

∵ 抛物线 与 轴交于 、 两点，

∴ 是方程 的两个实根.

求 的值给出以下两种方法：

方法1：由韦达定理得： .

∵ 的面积为 ，

∴ ，即 .

∴ .

∴ .

∵ ，

∴ .

∴ .

解得 .

∵ .

∴ .

∴所求二次函数的关系式为 .

方法2：由求根公式得 ．

．

∵ 的面积为 ，

∴ ，即 .

∴ ．

∴ .

解得 .

∵ ．

∴ .

∴所求二次函数的关系式为 .

（2）令 ，解得 .

∴ .

在Rt△ 中， ，

在Rt△ 中， ，

∵ ，

∴ .

∴ .

∴ 是直角三角形．

∴ 的外接圆的圆心是斜边 的中点．

∴ 的外接圆的半径 ．

∵垂线与 的外接圆有公共点，

∴ ．

（3）假设在二次函数 的图象上存在点 ，使得四边形 是直角梯形．

① 若 ，设点 的坐标为 ， ，

过 作 轴，垂足为 ， 如图1所示．

求点 的坐标给出以下两种方法：

方法1：在Rt△ 中，

，

在Rt△ 中， ，

∵ ，

∴ ．

∴ ．

．

解得 或 ．

∵ ，

∴ ，此时点 的坐标为 ．

而 ，因此当 时在抛物线 上存在点 ，使得四边形 是直角梯形．

方法2：在Rt△ 与Rt△ 中， ，

∴Rt△ ∽ Rt△ ．

∴ ．

∴ ．

以下同方法1．

② 若 ，设点 的坐标为 ， ，

过 作 轴，垂足为 ， 如图2所示，………5分

在Rt△ 中， ，

在Rt△ 中， ，

∵ ，

∴ ．

∴ ．

．

解得 或 ．

∵ ，

∴ ，此时点 的坐标为 ．

此时 ，因此当 时，在抛物线 上存在点 ，使得四边形 是直角梯形．

综上所述，在抛物线 上存在点 ，使得四边形 是直角梯形，并且点 的坐标为 或 .

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