不定积分与定积分的区别(定积分是求面积吗)

不定积分与定积分的区别

1、定义不同

在微积分中,定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

在微积分中,一个函数f 的不定积分,也称作反导数,是一个导数f的原函数 F ,即F′=f。

2、实质不同

若定积分存在,则是一个具体的数值(曲边梯形的面积)。

不定积分实质是一个函数表达式。

三大积分方法:

1、积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。第一类换元法(即凑微分法),通过凑微分,最后依托于某个积分公式,进而求得原不定积分。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候,为了避免繁琐的展开式,有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种:根式代换法和三角代换法。

3、分部积分法

设函数和u,v具有连续导数,则d(uv)=udv+vdu;移项得到udv=d(uv)-vdu,两边积分,得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。如果积分∫vdu易于求出,则左端积分式随之得到。

定积分是求面积吗

定积分可以有正,负,零,

是用定积分算面积,不是定积分是算面积,算面积时若定积分为负取它的绝对值。

不定积分与定积分的区别(定积分是求面积吗)

反函数的求法

求反函数的方法:

(1)从原函数式子中解出x用y表示;

(2)对换 x,y ,

(3)标明反函数的定义域

如:求y=√(1-x) 的反函数

注:√(1-x)表示根号下(1-x) 

两边平方,得y²=1-x

x=1-y²

对换x,y 得y=1-x²

所以反函数为y=1-x²(x≥0)

说明:

反函数里的x是原函数里的y ,原函数中,y≥0,所以反函数里的x≥0。

在原函数和反函数中,由于交换了x,y的位置,所以原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域。

微分与导数的区别

函数在某点处的微分是:【微分 = 导数 乘以 dx】,也就是,dy = f'(x) dx。

不过,我们的微积分教材上,经常出现

dy = f'(x) Δx 这种乱七八糟的写法,更会有一大段利令智昏的解释。

Δx 差值,是增值,是增量,是有限的值,是有限的小,但不是无穷小;f'(x) Δx 因此也就是有限的小,但不是无穷小。

dx 是无穷小,是无穷小的差值,是无穷小的增值。

只有当 Δx 趋向于 0 时,写成 dx,导数的定义就是如此!

由函数B=f(A),得到A、B两个数集,在A中当dx靠近自己时,函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分,微分的中心思想是无穷分割。

扩展资料:

把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

如果函数f在一点x_0的雅克比矩阵的每一个元素frac{partial f_i}{partial x_j}(x_0)都在x_0连续,那么函数在这点处可微,但反之不真。

参考资料来源:百度百科——微分

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