偏导数连续一定可微吗？偏导数连续是可微的充分条件

偏导数连续一定可微吗

函数可微则这个函数一定连续，但连续不一定可微。多元函数可微则偏导数一定存在，可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微，但反推不行。

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。必要条件：若函数在某点可微，则函数在该点必连续，该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为：

△z＝f（x0＋△x，y＋△y）－f（x0，y0）＝A△x＋B△y＋o（ρ），其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ＝〔（△x）＾2＋（△y）＾2〕＾0．5．o（ρ）是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o（ρ）／ρ趋于零．则称f在P0点可微。

可微的充要条件是曲面z＝f（x，y）在点P（x0，y0，f（x0，y0））存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0（x0，y0）可微，这个切面的方程应为Z－z＝A（X－x0）＋B（Y－y0）。

判断可导、可微、连续的注意事项：

1、在一元的情况下，可导=可微->连续，可导一定连续，反之不一定。

2、二元就不满足以上的结论，在二元的情况下：

（1）偏导数存在且连续，函数可微，函数连续。

（2）偏导数不存在，函数不可微，函数不一定连续。

（3）函数不可微，偏导数不一定存在，函数不一定连续。

（4）函数连续，偏导数不一定存在,函数不一定可微。

（5）函数不连续，偏导数不一定存在,函数不可微。

偏导数连续是可微的充分条件

函数可微是存在偏导数的必要条件。

1、必要条件若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

2、充分条件

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

设函数y＝ f（x），若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy＝A×Δx＋ο（Δx），其中A与Δx无关，则称函数f（x）在点x可微，并称AΔx为函数f（x）在点x的微分，记作dy，即dy＝A×Δx，当x＝x0时，则记作dy∣x＝x0。

偏导数连续和可微之间的关系

偏导连续（连续可偏导）则一定可微，偏导不连续不一定不可微，因为偏导连续是可微的充分条件而非必要，所以答案选C。

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

扩展资料：

求法

当函数 z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0)与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y)在域 D的每一点均可导，那么称函数 f(x,y)在域 D可导。

此时，对应于域 D的每一点(x,y)，必有一个对 x(对 y)的偏导数，因而在域 D确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y)对 x(对 y)的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

几何意义

表示固定面上一点的切线斜率。

偏导数 f'x(x0,y0)表示固定面上一点对 x轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0)表示固定面上一点对 y轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y)的偏导数 f'x(x,y)与 f'y(x,y)仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y)的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

注意：

f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y求偏导；后者是先对 y求偏导再对 x求偏导。当 f"xy与 f"yx都连续时，求导的结果与先后次序无关。

参考资料来源：百度百科–偏导数

参考资料来源：百度百科–连续可微

怎么看偏导数是否连续

判断偏导数是否连续

问题一：怎么判断这道题的偏导数是否存在，是否连续？连续是要在点（0，0）的一个邻域内所有值都相等，当以直线Y=KX靠近时，显然与K值有关，所以不连续。对X的偏导存在只需在X轴方向上邻域内的值相等就行，所以存在。对Y同理。

（但是全微分就不存在）

问题二：给定一个二元函数怎么判断是否连续偏导数是否存在首先偏导数连续是可微的充分条件,偏导数存在是可微的必要条件,也就是说存在一些偏导数不连续的函数但仍可微,也存在一些偏导数存在的函数但不可微,而可微一定连续（连续不一定可微）,所以从偏导数存在是得不出函数连续的,按照上面的分析,你写的那三条当然都是不能逆向推理的.事实上偏导数连续虽然能推出函数连续,但条件过强,而偏导数存在这个条件又由于太弱从而推不出函数连续,比较“适中”的条件是,偏导数在一点的某个邻域内有界,则函数在该点连续,这是一个定理.以上说的那些不能推出的,都是有反例的,有兴趣的话你可以自己在书上找找.

问题三：如何判断一个函数在一个点处是否存在偏导数和是否连续函数在该点的左右极限相等且等于该点函数值则连续，用偏导数定义求偏导数若极限存在则偏导数存在

问题四：如何证明偏导数是连续的？先用定义求出该点的偏导数值c,再用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y),最后求fx(,x,y)当(x,y)趋于该点时的极限,如果limfx(x,y)=c,即偏导数连续,否则不连续.

问题五：如何判定偏导数连续偏导数要存在，则函数的左极限等于右极限，左导数等于右导数。也就是说由偏导数存在能够推出函数连续。但是函数连续无法推出偏导数存在，比如三角波信号，三角形顶点左极限等于右极限，但是左导数和右导数一个为正，一个为负。。。。。嗯。。。这个是必要非充分吧，A

问题六：偏导数是否连续。函数

f(x,y)=(x2+y2)sin[1/(x2+y2)]，x2+y2≠0，

=0，x2+y2=0，

的偏导数

fx(x,y)=2xsin[1/(x2+y2)]+(x2+y2)cos[1/(x2+y2)]*[-2x/(x2+y2)2]，x2+y2≠0，

=0，x2+y2=0，

其中

fx(0,0)=lim(x→0)[f(x,0)-f(0,0)]/x

=lim(x→0){x2sin[1/(x2+y2)]-0}/x

=lim(x→0)xsin[1/(x2+y2)]

=0。

易验

lim(x→0)fx(x,y)=0=fx(0,0)，

即fx(x,y)在(0,0)连续。同理，可证另一个偏导数的连续性。

不明白可追问，没有请采纳，您的采纳才是对答题者最好的谢谢。

问题七：左右导数为什么可以判断导数是否连续这问题别问了，这是个基本概念问题，你能问出来说明你需要懂相关概念，不懂解释也没用

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