定积分与不定积分区别（定积分和不定积分举例）

hanbang11 • 2023年3月16日 • 头条

定积分与不定积分区别

1、定义不同

在微积分中，定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

在微积分中，一个函数f 的不定积分，也称作反导数，是一个导数f的原函数 F ，即F′=f。

2、实质不同

若定积分存在，则是一个具体的数值（曲边梯形的面积）。

不定积分实质是一个函数表达式。

三大积分方法：

1、积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。第一类换元法（即凑微分法），通过凑微分，最后依托于某个积分公式，进而求得原不定积分。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：根式代换法和三角代换法。

3、分部积分法

设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu；移项得到udv=d(uv)-vdu，两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

定积分和不定积分举例

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a，b]上积分和的极限。

在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F，即F′ =f。

不定积分运算没有乘法运算法则，只有基本公式法，第一类换元积分，第二类换元积分，分部积分等。

1、积分公式法：直接利用积分公式求出不定积分。

2、第一类换元法（即凑微分法）：通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

定积分∫e^(x^2)dx

解析如下：

此题中∫e^（x^2）dx 是超越积分(不可积积分)，它的原函数是非常规的。

结果∫e^（x^2）dx=1/2 √π erfi(x) + C。

注：其中erfi(x)是引入的函数，它为 x的（余）误差函数，无法取值。

定积分一般定理：

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

定积分与不定积分区别（定积分和不定积分举例）

定积分求曲线所围面积

应用极坐标情形下的面积公式求解。∵ρ=2αcosθ，且ρ≥0，∴α≥0，θ∈[-π/2,π/2]。

∴所围成的面积A=∫(-π/2,π/2)ρ²dθ/2=α²∫(-π/2,π/2)2cos²θdθ=α²∫(-π/2,π/2)(1+cos2θ)dθ.

∴A=α²π。

供参考。

求不定积分∫e^(-x^2)dx

∫e^(-x^2)dx=(-1/2)∫de^(-x^2)/x=(-1/2)e^(-x^2)/x -(1/2)∫e^(-x^2)dx/x^2

=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3+(1/4)∫e^(-x^2)d(1/x^3)

=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)∫e^(-x^2)d(1/x^4)

x^2=t ∫e^(-x^2)d(1/x^4)

=∫e^(-t)d(1/t^2)=e^(-t)/t^2+∫e^(-t)dt/t^2=e^(-t)/t^2-e^(-t)/t-∫e^(-t)dt/t

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+..+x^n/n!

e^(-t)=1+(-t)+(-t)^2/2!+(-t)^3/3!+..+(-t)^n/n!

∫e^(-t)dt/t=lnt-t -t^2/(2*2!)-t^3/(3*3!)-..-t^n/(n*n!)

所以

∫e^(-x^2)dx=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)e^(-x^2)/x^4-(1/8)e^(-x^2)/x^2-(1/8)[ln(x^2)-x^2-(x^2)^2/(2*2!)-(x^2)^3/(3*3!)-..-(x^2)^n/(n*n!)]

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定积分与不定积分区别（定积分和不定积分举例）

定积分与不定积分区别

定积分和不定积分举例

定积分∫e^(x^2)dx

定积分求曲线所围面积

求不定积分∫e^(-x^2)dx

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