2021北京中考数学（2021北京中考数学出题人）

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2021北京中考数学试卷难度点评

数学学科确定了面向全体学生，以学生为中心，在实现水平性考查功能的同时，兼顾选拔性功能的命题思路。

2021北京中考数学试卷点评

数学试题的命制以《义务教育数学课程标准（2011年版）》为依据，坚持稳中求进的命题指导原则，落实立德树人根本任务，在内容和能力考查上做到“三个注重”和“四个考出来”，注重发挥育人功能。同时结合中学教学实际，重点考查主干知识、核心能力、基本数学思想和基本活动经验，突出学科本质，考查数学思维，进一步引导教学回归课堂，回归教材，实现教学和考试的良性互动。

一、结合学科特点，发挥育人

功能，落实立德树人根本任务

数学学科结合自身学科特点，选取合适的素材，将社会主义核心价值观自然地融入到试题中，发挥试题的育人功能。

如第2题，以脱贫攻坚中的教育扶贫为背景，介绍了2014-2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金情况，让学生直观感受到学习环境的提升离不开国家的政策保障与财政的大力投入。

如第20题，以《淮南子·天文训》中确定东西方向的方法为背景，阐述了我国古代很早就开始对天文等方面有了深入的研究，彰显了我国古人的智慧。以数学文化为载体，引导学生运用所学数学知识解决简单实际问题，达到了以数学文化育人的目的。

二、立足“四基”，考查主干，

体现思维，学以致用

2021年数学学科的试卷特色和整体风格保持稳定。试卷的整体设计立足于“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验），考查对知识本质的理解，考查学生的数学思维，考查学生从数学的角度思考问题和运用数学知识解决实际问题的能力。

1.关注“四基”要求，体现数学基础

试卷的设计与试题的命制，注重对三大知识板块(数与代数、图形与几何、统计与概率)基础知识的考查，在考查的过程中，突出对基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。

如尺规作图，要求学生不仅要掌握技能操作的程序和步骤，还要理解其中蕴含的数学原理。在第20题中，学生先要依据题目要求使用恰当方法准确作图，再利用已掌握的数学原理解释尺规作图的作图原理，并完成证明。

2.关注知识形成过程，感悟学科思想

数学学习的重要目标之一是让学生亲身经历知识形成、发展和应用的过程，积累活动经验，理解知识本质，感悟数学思想。如在统计教学中，要让学生经历完整的统计过程，从数据中提取信息，并利用这些信息解释说明问题。今年统计大题在考查数据的收集、整理和描述的基础上，着重考查了对数据的分析和利用数据中提供的信息解释问题，考查了学生对中位数的意义、中位数和平均数在分析数据分布情况的作用，以及样本估计总体的理解，体现了学生获取有效信息并进行定量分析的意识和能力。引导教学要关注数学问题的本质，让学生在不断积累统计活动经验的基础上，加深对统计思想与方法的理解和运用。

又如第8题，以“矩形的相邻两边长及其面积”为背景，考查函数是研究运动与变化的数学模型。它来源于实际又服务于实际，从实际问题中抽象出函数的有关概念，又运用函数知识解决实际问题。更重要的是，从图形和数量两个角度及其相互联系中，凸显出函数的本质特征是体现事物间的联系和变化。这既是函数教学的主线，也是函数学习的主线。让学生在建模与解决实际问题过程中，加深对函数概念及思想方法的理解。

3.关注思维品质，发挥教材价值

对数学思维的考查，主要体现在学生认识数学、理解数学和感悟数学的过程中。同时，对于数学思维的考查不是空洞的，是在充分理解教材、挖掘教材的基础上，基于教材与教学进行设计的，进而考查学生的思维品质。

如第22题，本题主要从运动与变化的角度，结合函数图象，考查学生从特殊到一般、从直观到抽象、从感性到理性的思维过程。再如第26题，结合二次函数图象的对称性，分析满足条件的函数图象的特征，探究对称轴的取值范围问题。这些试题的设计思想都来源于课堂教学，来源于课本教材。

如第27题，试题关注学生在解决一个综合性问题的过程中，通过操作、观察、猜想得到结论，再用演绎推理证明结论成立。考查学生在经历猜想、尝试等数学活动中，发现、提出问题，分析、解决问题的能力。题目从运动变化和图形变化的角度，挖掘教材中知识的内在联系，将基础知识、方法进行一定的综合，同时丰富的试题背景，为学生提供了多角度思考问题的机会，为学生提供了展示自我的舞台。试题命制思想源于教材，引导教学思考题目与教材内容的关系。

如第28题，选取以学生学习的重点知识之一——旋转为主要背景，考查学生的数学素养。试题以圆和旋转为载体，定义了“关联线段”，先研究特殊的“关联线段”，继而研究一类“关联线段”的特征，再结合图形的运动与变化，从“正”“反”两个角度研究“关联线段”以及相关参数，展现了研究学习新知识的一般过程。这类试题不只局限于对知识本身的考查，而是通过创设适宜的情境，以实践操作、探索发现、证明猜想为活动主线，让学生经历探究和解决问题的一般过程，积累数学活动经验，是数学素养的体现。

4.关注实践能力，体现应用价值

现实生活中蕴含着大量与数量有关的问题，通过建立数学模型，用数学的方法予以解决，体现了数学的应用价值。如第16题，以“两条生产线加工时间”为背景，考查学生运用所学知识分析和解决实际问题的能力，让学生在日常生活中养成用数学的眼光观察世界，用数学知识解决问题的习惯，激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值。

三、深化考试内容改革，

正向引导教学，

减轻学生过重课业负担

1.以课程标准为纲，从教材中挖掘或选用素材，进一步引导教学回归课堂、回归教材

依据课程标准的知识要求与能力要求命制第28道试题，试题“不超标”，引导课堂教学紧扣课标要求实施教学。依据教材表述设计第28道试题的设与问，符合学生心理特征，试题“不挖坑”，进一步引导课堂回归教材。从试题数量上来看，第28道试题中，约70%的试题来源于教材，其中第4、6、8、13这四道试题为教材例题或课后习题。

2.试题注重对主干知识和关键能力的考查，加强对数学思维考查，进一步引导课堂回归学科本质

试卷中的第8题、第16题、第23题、第25-28题，都是以主干知识为载体，考查在知识形成、发展和应用过程中，所积累的活动经验，以及对知识本质的理解和数学思想的感悟。“机械刷题”对这些试题是无效的，引导课堂教学要坚持关注知识本质和思想方法的灵活运用。

3.试题的设与问符合教学实际和学生心理特征，试题没有“偏难怪”，引导教学“不抢跑”

试卷全卷第28题既没有高中知识下放的试题，也没有初高中数学竞赛改编的试题，考查的不是超前学习的知识和竞赛中非常规的解题技巧，而是考查基础知识的扎实度、有效数学活动经验积累的厚度，数学本质理解的深度和数学思想的感悟度。引导教学回归与学生认知特点和学科发展规律相一致的正常课堂教学，为中学生“减负”创造良好的教育生态，促进素质教育深入实施，帮助学生健康成长成才。

总之，2021年北京市初中学业水平考试数学学科试卷面向全体学生，以学生为中心，巩固过去几年中考考试内容改革成果，积极探索初中学业水平考试改革新模式，坚持稳中求进的命题总原则，充分发挥试题育人功能，坚持创设符合学生特点的新情景，考查主干知识，考查核心能力，考查基本思想，考查发现问题、分析问题和解决问题的能力，努力构建培养学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，培养有理想、有本领、有担当的时代新人。

2021年北京市初中学业水平考试

数学试题评价

2021年北京市初中学业水平考试数学试卷（以下简称“北京卷”）以《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）为依据，既实现水平性考查功能，又体现了选拔功能，符合“两考合一”的要求。北京卷在试卷结构、题型分布、分数设置等方面保持稳定，体现了“稳中求进，以稳为主”的特点。

一、依据《课程标准》

凸显数学课程特点

北京卷依据《课程标准》的要求，以教材题目或者学生熟悉的内容创设情境，有利于减轻学生过重的课业负担。如第4题给出图形研究“多边形内角和”问题，第6题“抛掷两枚硬币”问题，第16题“企业生产线加工”问题等。

北京卷引导学生关注真实的社会生活，用数学方法解决问题。如第25题，背景是“邮政企业的收入”，考查学生对统计图表信息的读取，对统计数据的解读与使用。第20题，背景是研究《淮南子·天文训》中记载的确定东西方向的方法，学生在阅读分析推理的同时感悟数学文化的魅力，展现了数学的育人价值与科学价值。

二、全面考查“四基”

落实学业水平要求

北京卷紧扣课标和教材，注重对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。各知识领域的分值设计与课标要求相符，大部分题目的创设与教材联系密切。梯度设计细致合理，符合初中学生的认知规律与水平，体现了初中学业水平考试的要求。与2020年北京卷相比，在题型和设问上保持了稳定。

第2、3、4、9、10题等，考查基本概念和性质。第8、12、23（1）、26（1）题考查初中三种函数的概念、图象和性质,突出了对主干知识的考查，既考查了基础知识，也注重知识的整体性和知识之间的联系。第11、18、19题以不同知识为载体实现了对运算能力的考查。第23题借助函数图象，在运动变化中找到临界状态，体现了数形结合的思想方法。

北京卷多数试题以学生熟悉的形式呈现，设问起点低，易于理解，为学生的思考提供了方向。如第25题与2018年第25题叙述方式相似， 第26（1）、27（1）题也是基础性题目，为不同的学生提供了不同的展示机会。

与2020年北京卷相比，减少了函数探究题目，一元二次方程题目由填空题调整为解答题，填空题增加了对分式方程解法的考查。充分体现了对知识考查的基础性、全面性和综合性。

三、关注思维深度

体现试卷选拔功能

北京卷关注思维广度的考查，试题设计体现高质量地认识问题、分析问题、解决问题所必须具备的能力。北京卷立足学科主干知识，关注了对学科本质的考查，体现了试卷的选拔功能。

第16题创设了加工相同原材料的生产线的现实情境，考查学生对用文字和符号描述的数学条件的阅读理解能力、对题目中的信息进行提取、加工和处理能力，建立合适的数学模型，鼓励学生用多样化的方法、不同的数学模型来分析、解决现实问题，考查模型思想与应用意识。

第26题来源于教材和课堂教学，立足于二次函数的概念、图象和基本性质这些学科主干知识的考查，引导学生结合二次函数图象的对称性，利用数形结合的方法进行推理，重点考查学生利用在初中学段的学习中所积累的主干知识和学习经验进行思考和说理。学生可以通过对问题的深入分析选择不同的方法，合理降低运算量，体现了试题坚持对学生能力和素养的考查要求，以实现试题的选拔功能。

第27题延续了北京卷以往的风格，考查学生识别、分析和提炼问题情境中的基本几何图形及其性质，利用自身的学习经验，以及所学过的常用图形变换，通过画图、观察和分析图形运动变化的全过程，猜想、探究蕴含其中的几何图形数量之间的关系和规律，从而考查学生的几何直观、对基本图形中的常用辅助线的认知，考查探究问题的通用方法的掌握情况和逻辑推理能力。

第28题作为北京一贯坚持的特色试题，坚持了对概念学习的过程性考查，以学生学习的重点知识之一的旋转作为主要背景，定义了“关联线段”，以实践操作、探索发现、证明猜想为活动主线，让学生经历学习、研究新知识的一般过程，从特殊情况入手，继而研究一类“关联线段”的特征，探究和解决问题，在现场学习的活动经验的积累过程中提升数学素养。

与2020年相比，第26、27、28三道试题，在考查方向和考查方式上保持稳定，关注思维深度，体现试卷选拔功能。

四、关注情境创设

实现育人功能

北京卷进一步丰富试题的选材范围，创设了丰富的现实情境、文化情境，以学生个人生活和社会公共生活为背景设计试题，反映了数学的多种应用，在数学知识内容与提出的问题之间架起桥梁，引导学生在运用数学知识解决问题的过程中，切实感受到数学的应用价值。第6题以学生非常熟悉的抛硬币试验为背景，考查学生对于概率意义的理解，以及用列举法求概率的方法；第8题延续了2020年北京卷的命题思路，选取了教材中的问题情境，研究了周长确定的矩形其相邻两边之间、面积和一边之间的关系，考查了学生对于函数模型思想的掌握；第16题以工业生产中的分配加工业务问题为背景，引导学生用模型思想解决问题，学生需要在理解题意的基础上做出理性的分析和判断；第25题以两个城市的邮政企业收入问题为背景，考查平均数和中位数的统计意义，用样本估计总体等数据分析的观念，也增强了学生分析和解决现实问题的能力。

北京卷充分落实立德树人的根本任务，体现正确的育人导向，促进和推动学生全面发展、健康成长，发展素质教育。第2题以脱贫攻坚中的教育扶贫为背景，考查科学记数法的知识，引导考生胸怀祖国、关注社会，厚植爱党爱国爱社会主义情怀，自觉肩负为实现中华民族伟大复兴而奋斗的使命担当。第20题以《淮南子·天文训》中记载的利用杆的影子确定东西方向的方法，设计了尺规作图问题和简单的几何推理，实现教育育人、文化育人，是新时期进行社会主义核心价值观教育的必然要求，增强了文化自信。

2021年北京卷在命题上体现了平稳过渡的特点，加强了基础试题的比重，保持了较难题的思维深度，命题导向把握得当。试题在情境创设、素材选用和价值观的引导上发挥了较好的作用。试题与国家的发展趋势相结合，与北京的发展相结合，紧密联系教材内容。引导学生在新的问题、新的情境中学以致用，对课堂教学起到了良好的导向作用。

北京中考满分多少分2021年

北京中考满分660分2021年。

一、2021年北京中考考试科目

考试科目：语文、数学、外语、道德与法治、历史、地理、物理、化学、生物、体育9门，计入中考成绩。

二、2021年北京中考总分及各科分值2021年北京中考总分为660分，其中语文、数学、外语均为100分、体育40分、物理、化学、生物、历史、政治、地理均为80分。

三、2021年北京中考计分原则：2021年北京中考改革总分为语文、数学、外语、体育、道德与法治、物理6门成绩叠加，另外在化学、生物中择优计入中考成绩，在历史、地理中择优计入中考成绩。其中地理生物在初二下学期结课，化学、历史初三下学期结课。

2021北京中考数学满分率

数学高分率，也就是分数高于85(满分100分)的大约50%，满分率约20%。

中招录取总成绩满分为660分。其中语文100分、数学100分、外语100分、道德与法治80分、物理80分、体育与健康40分。

实施初中学业水平考试制度，将初中毕业考试和高中招生考试两考合一，全科开考。全市统考科目为10门，分别是语文、数学、外语、道德与法治、物理、历史、地理、化学、生物和体育与健康。

逆向思维究本质——2021年北京中考数学第28题

逆向思维究本质——2021年北京中考数学第28题

“如果大山不能走向穆罕默德，穆罕默德可以走向大山”，这是著名科幻小说《三体》中，白ice从《古兰经》故事中受到启发，说出的一句台词。

在数学学习中，我们也经常用到这种思维，并称之为逆向思维，例如反证法、执果索因等。通常情况下，正向思维受到较大阻碍，或干扰较多，不妨换个角度，逆向思考问题。成功的逆向思维，其实是建立在正向思维的基础上，正因为遇到障碍，在突破过程中虽然受阻，但大量的尝试并不是无用功，一旦逆向思维突破，问题便迎刃而解。

题目

在平面直角坐标系xOy中，圆O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到圆O的弦B’C'(B’，C’分别是B，C的对应点)，则称线段BC是圆O的以点A为中心的“关联线段”.

(1)如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横纵坐标都是整数，在线段B1C1，B2C2，B3C3中，圆O的以点A为中心的“关联线段”是_____________；

(2)△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0，若BC是圆O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；

(3)在△ABC中，AB=1，AC=2，若BC是圆O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长.

解析：

(1)

我们必须对“关联线段”定义有充分认知，才能顺利完成本题的判断，对于旋转变换，旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等，我们不妨观察一下点A到C1，C2，C3的距离，可首先排除掉C1，因为点A与圆O上的点，距离最大为√2+1，显然A点到C1的距离为3，超出了，即无论怎么旋转，点C1都不会落在圆O上；

然后再来观察C2，我们发现，绕点A顺时针旋转90°后，点C2落在圆O上(0,1)处，此时点B2恰好落在圆O上(1,0)处，符合“关联线段”定义；

最后来看C3，旋转后它肯定能落在圆O上，但与此同时，点B3会落在何处呢？ 这时我们需要将三个点连接成三角形来看，如下图：

我们通过观察可发现，点B3旋转后的位置相对容易确定，在(0,-1)和(1,0)位置，然后将整个三角形画出来，发现此时点C3并未落在圆O上，不符合“关联线段”定义；

所以符合的只有B2C2；

(2)

本小题中等边△ABC的意义在于确定了点A和BC的相对位置，即点A一定在线段BC的垂直平分线上，抓住这个核心，本小题基本可以“秒”了。

由于点A(0,t)在y轴上，同时也在BC的垂直平分线上，那么线段BC的位置只能平行于x轴，再加上线段BC长度为1，所以只剩下两处，如下图：

在圆O中，弦长等于半径时，弦心距为√3/2，而在等边△ABC中，点A到BC的距离也是√3/2，因此点A到圆心O的距离为√3，即点A坐标为(0,√3)或(0,-√3)；

(3)

本小题的△ABC，给出AB=1，AC=2，BC未知，但根据“关联线段”的定义，旋转后B’C’一定是圆O的一条弦，对于点A而言，自由度太大，无法确定，而恰恰因为点A自由度大，所以相应的点B’和点C’的位置也相对自由，之所以说相对，是因为对于点B’和点C’，有圆O限制；

圆是中心对称图形，无论弦B’C’位于何处，确定点A的方法是固定的，即分别以点B’和点C’为圆心，作半径分别为1和2的两个圆，两圆交点即为点A；所以我们反过来，按先定B’，再限制C’，最后寻求点A’的顺序，简称为“定B’限C’索A”；

我们将点B’先“固定”在(-1,0)，其余位置也行，方法相同；

点C’在圆O上，分别以B’，C’为圆心，作半径为1和2的两个圆，其中一个交点为点A(另一个交点情况完全相同)；

现在对于点A而言，它在以B’为圆心，半径为1的圆上，点O反成为圆B’上一点，OA成为圆B’的一条弦，于是最大值为2，如下图：

此时的线段B’C’如何求呢？

我们连接OC’之后，发现△AOC’是一个腰长为2，底边长为1的等腰三角形，过点C’作C’D⊥OA，如下图：

设OD=x，则B’D=1-x，AD=2-x，在Rt△ADC’和Rt△ODC’中分别利用勾股定理得方程：4-(2-x)²=1-x²，解得x=1/4，再利用勾股定理求出C’D=√15/4，最后在Rt△B’C’D中求出B’C’=√6/2；

所以OA最大值为2，相应BC的长为√6/2；

然后我们来探索OA的最小值。

仍然由上图可知，点A在圆B’上，既然圆B’有一部分在圆O内，那么点A可能在圆O上吗？可能在圆O内吗？如果存在，那OA的长一定比点A在圆外时小，那就先试试点A在圆O上吧！

当点A在圆O上时，AC’成为圆O内的一条弦了，又AC’=2，它肯定是圆O的直径，因此△AB’C’是直角三角形，且OA=1，顺利求得B’C’=√3；

若点A在圆O内部，而点C’却始终在圆O上，由于圆O直径为2，显然AC’2，不可能存在此种情况；

所以OA最小值为1，相应BC的长为√3；

综上：OA最大值为2，相应BC长为√6/2；OA最小值为1，相应BC长为√3.

解题反思

实在没想到，2021年北京中考数学压轴题居然可以“秒”，上述解法中，点A位置并不一定如图所示，也有可能在其它位置，但正如前面分析所说，自由度大，换个位置，计算出来的OA最值和相应的BC长依然相同，事实上，将本题第3小题解析中的B’换个任何位置，再作图，还是这几种情况。

这等于告诉我们，点A在哪，真不重要，点A为什么在那儿，非常重要！

今年北京的新定义，看似线段绕点A旋转，成为圆O的弦，其本质上依然是以弦作为切入点，旋转后就是弦，旋转前管你在哪呢？

对于类似的多动点问题，要抓住其不变量，为什么要固定点B’呢？因为B’C’是圆O的弦，并且存在最大值，这就有了限制，相对于点A，题目关于它的限制几乎没有或者隐藏较深，所以才固定弦的一个端点，当然，如果选择固定点C’，方法是一样的。

固定了点B’，那么点C’相对固定，毕竟它还在圆上，这样的设置，会减少探索点A位置的困难，因为弦的位置决定了点A的位置，这就是探索的依据。

点与圆的位置关系中，已经明确了点与圆距离的最大值与最小值求法，将它融入到新定义中，极考验学生对数学概念的理解，同时也考查学生的几何直观、几何作图。

显然如果先确定点A再去作△ABC，再去旋转，让B’C’成为圆O的一条弦，想想都无从下笔，这也是“大山不会走向穆罕默德”的原因，所以，我们才需要反其道而行之，从问题的本质出发，主动“向大山走去”。

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