前n项和公式？等比前n项求和

goodluck • 2023年10月27日 • 头条

前n项和公式

等差数列前N项和公式：

①Sn=n*a1+n(n-1)d/2

②Sn=n(a1+an)/2

Sn代表项数之和，n代表项数，a1代表数列的第一项，an代表数列的最后一项，d代表数列的公差。

性质：

⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S可以写成S= an^2+ bn的形式(其中a、b为常数)．

⑵在等差数列中,当项数为2n(n∈ N+)时,S偶－S奇= nd,S奇÷S偶=an÷a（n+1）；当项数为(2n－1）(n∈ N+)时,S奇—S偶=a中,S奇÷S偶=n÷（n-1）．

⑶若数列为等差数列,则S n,S2n－Sn,S3n－S 2n,…仍然成等差数列,公差为k^2d．

(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别是Sn和Tn,则am/bm=S2m-1/T2m-1.

⑸在等差数列中,S= a,S= b(n>m),则S=(a－b)．

2.等比数列前N项和公式：

Sn代表项数之和，n代表项数，a1代表数列的第一项，an代表数列的最后一项，q代表数列的公比。

性质：

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；

④若G是a、b的等比中项，则G2=ab（G≠ 0）；

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.

⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk+1

⑦当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。

等比前n项求和

等比数列前n项和公式为：

等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

等比数列性质

①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；

②在等比数列中，当q≠-1，或q=-1且k为奇数时，依次每 k项之和仍成等比数列。

如：银行有一种支付利息的方式—复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，

再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。

第n项公式是什么

因为Sn= a1+ a2+…+ an，反过来Sn= an+ a(n-1)+…+ a1。

两式相加，有：2Sn=（a1+ an）+ [a2+ a(n-1)]+…+ [ak+ a(n-k+1)]+…+(an+ a1)。

由等差数列知道对于任意的K，有[ak+ a(n-k+1)]=(an+ a1)。

（说明：可以把an= a1+（n-1）d)代入上式证明）

所以2Sn= n(a1+ an），故Sn= n(a1+ an)/2。

这是等差数列求和公式的推导过程。

扩展资料

等差数列的公式：

公差d＝（an－a1）÷（n－1）（其中n大于或等于2，n属于正整数）；

项数＝（末项－首项来）÷公差＋1；

末项＝首项＋（项数－1）×公差；

前n项的和Sn＝首项×n＋项数（项数－1）公差／2；

第n项的值an＝首项＋（项数－1）×公差；

等差数源列中知项公式2an＋1＝an＋an＋2其中｛an｝是等差数列。

等比数列的求和公式

等比数列的求和公式如下

对于有限项的等比数列，求和公式为：

Sn= a*(1- r^n)/(1- r)

其中，

Sn表示等比数列的前 n项的和，

a表示首项，

r表示公比，

n表示项数。

这个公式可以用来计算等比数列的前 n项的和。

例如，如果我们要计算公比为 2，首项为 3的等比数列的前 4项的和，可以将公式中的 a替换为 3，r替换为 2，n替换为 4，计算得到：

S4= 3*(1- 2^4)/(1- 2)= 3*(1- 16)/(-1)=-45

所以，该等比数列的前 4项的和为-45。

需要注意的是，这个求和公式仅在公比 r的绝对值小于 1时成立。若 r≥ 1或 r≤-1，等比数列的和将会趋向无穷大或无穷小，分别没有有限的结果。

等比数列的求和公式的应用

1.数学题目

在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n项的和。通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。

2.财务和投资计算

在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。

3.等比缩放和增长率

在几何、地图绘制、模型设计等领域，经常需要进行等比缩放或计算增长率。通过等比数列的求和公式，可以确定每一级的尺寸或增长量，并计算总体的尺寸或增长量。

4.科学和工程问题

在科学和工程中，等比数列的求和公式可以用于建模和分析。例如，在电路分析中，可以使用等比数列的求和公式计算电阻、电感或电容网络的总阻抗。

这些只是等比数列求和公式的一些应用示例。实际上，等比数列的求和公式在各个领域都有广泛的应用，可以帮助解决许多与序列、累积和增长有关的问题。

等比数列的求和公式的例题

例题：计算等比数列 2, 6, 18, 54的前 5项的和。

解法：

首先，观察给定的数列可以发现，公比 r= 3，首项 a= 2，项数 n= 5。

根据等比数列的求和公式：

Sn= a*(1- r^n)/(1- r)

将具体的数值代入公式中，我们可以得到：

S5= 2*(1- 3^5)/(1- 3)

计算结果为：

S5= 2*(-242)/(-2)= 242

所以，等比数列 2, 6, 18, 54的前 5项的和为 242。

通过这个例题，我们可以看到等比数列的求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前 n项的和，而不需要逐个相加。这在数学、财务和科学等领域的计算中非常实用。

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