等比数列的和，等比数列 求和

等比数列的和，等比数列求和

goodluck • 2023年10月29日 • 头条

等比数列的和

等比数列求和公式为：Sn=n*a1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)（q不等于 1）。

等比数列的意义：

一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，即：A(n+1)/A(n)=q(n∈N*)，

这个数列叫等比数列，其中常数q叫作公比。

如：2、4、8、16……2^10就是一个等比数列，其公比为2，可写为（A2）的平方=（A1）x（A3）。

特殊性质：

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；

④若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G≠ 0）；

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

通项公式 an=a1×q^(n-1)；

推广式：an=am×q^(n-m)；

求和公式：

Sn=n×a1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)

S∞=a1/(1-q)（n->∞）（|q|<1）(q为公比，n为项数）

等比数列求和公式推导：

（1）Sn=a1+a2+a3+…+an(公比为q)

（2）q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+…+an*q=a2+a3+a4+…+a(n+1)

（3）Sn-q*Sn=a1-a(n+1)

（4）(1-q)Sn=a1-a1*q^n

（5）Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

（6）Sn=(a1-an*q)/(1-q)

（7）Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

（8）Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)

等比数列求和

等比数列的求和公式如下

对于有限项的等比数列，求和公式为：

Sn= a*(1- r^n)/(1- r)

其中，

Sn表示等比数列的前 n项的和，

a表示首项，

r表示公比，

n表示项数。

这个公式可以用来计算等比数列的前 n项的和。

例如，如果我们要计算公比为 2，首项为 3的等比数列的前 4项的和，可以将公式中的 a替换为 3，r替换为 2，n替换为 4，计算得到：

S4= 3*(1- 2^4)/(1- 2)= 3*(1- 16)/(-1)=-45

所以，该等比数列的前 4项的和为-45。

需要注意的是，这个求和公式仅在公比 r的绝对值小于 1时成立。若 r≥ 1或 r≤-1，等比数列的和将会趋向无穷大或无穷小，分别没有有限的结果。

等比数列的求和公式的应用

1.数学题目

在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n项的和。通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。

2.财务和投资计算

在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。

3.等比缩放和增长率

在几何、地图绘制、模型设计等领域，经常需要进行等比缩放或计算增长率。通过等比数列的求和公式，可以确定每一级的尺寸或增长量，并计算总体的尺寸或增长量。

4.科学和工程问题

在科学和工程中，等比数列的求和公式可以用于建模和分析。例如，在电路分析中，可以使用等比数列的求和公式计算电阻、电感或电容网络的总阻抗。

这些只是等比数列求和公式的一些应用示例。实际上，等比数列的求和公式在各个领域都有广泛的应用，可以帮助解决许多与序列、累积和增长有关的问题。

等比数列的求和公式的例题

例题：计算等比数列 2, 6, 18, 54的前 5项的和。

解法：

首先，观察给定的数列可以发现，公比 r= 3，首项 a= 2，项数 n= 5。

根据等比数列的求和公式：

Sn= a*(1- r^n)/(1- r)

将具体的数值代入公式中，我们可以得到：

S5= 2*(1- 3^5)/(1- 3)

计算结果为：

S5= 2*(-242)/(-2)= 242

所以，等比数列 2, 6, 18, 54的前 5项的和为 242。

通过这个例题，我们可以看到等比数列的求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前 n项的和，而不需要逐个相加。这在数学、财务和科学等领域的计算中非常实用。

等比数列的求和公式

等比数列的前n项和 Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等比数列，公比为q^n。

证明如下：

设等比数列{an}的公比为q，

an=a1q^(n-1)

am=a1q^(m-1)

两式相除得an/am=q^(n-m),∴an=amq^(n-m)。

S2n=a1+a2+…+an+a(n+1)+a(n+2)+…+a2n=Sn+(a1q^n+a2q^n+…+anq^n)=Sn+(a1+a2+…+an)q^n=Sn+Snq^n

所以(S2n-Sn)/Sn=q^n。

同理，S3n=S2n+[a(2n+1)+a(2n+2)+…+a3n]

=S2n[a(n+1)q^n+a(n+2)q^n+…+a2nq^n)

=S2n+[a(n+1)+a(n+2)+…+a2n]q^n

=S2n+[S2n-Sn}q^n。

所以(S3n-S2n)/(S2n-Sn)=q^n。

所以(S2n-Sn)/Sn=(S3n-S2n)/(S2n-Sn)。

即(S2n-Sn)^2=Sn(S3n-S2n)。

扩展资料：

等比数列求和公式的性质：

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；

④若G是a、b的等比中项，则G2=ab（G≠ 0）；

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零；

⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^(k+1)；

⑦当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。

对比数列的求和公式

等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

其中常数q叫作公比，在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公式可以快速的计算出出该数列的和。

一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数(这个常数通常用q来表示)且数列中任何项都不能为0。

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