不定积分与定积分的区别,定积分与不定积分的不同

goodluck • 2023年2月22日 • 头条

提到不定积分与定积分的区别,定积分与不定积分的不同，大家也许都懂，有人问不定积分和定积分的区别，下面和小编一起看看不定积分与定积分的区别,定积分与不定积分的不同，希望能够帮到您！

本文目录一览：

不定积分和定积分的区别

今天是高等数学专题的第8篇文章，今天的内容是不定积分。

我之前的高数老师曾经说过，高等数学就是大半本的微积分加上一些数列和极限的知识。而微积分当中，积分相关又占据了大半江山。微积分之所以重要并不是因为它的比重大、容量多，而是因为它常用。几乎所有理工科的课本上都有微积分的公式，原因也很简单，当年这些科学家在研究未知事物或者是进行计算的时候，大量使用了微积分作为工具。这也是我们必须学它的原因。

原函数

我一直都觉得微积分这个名字起得很好，微积分是微分和积分的合称。微分是通过宏观研究微观，而积分恰恰相反则是通过微观获取宏观。因此从某种意义上来说，我们可以将积分看成是微分的反面。

微分对应的是极限，在函数当中，我们通过让 Δx 趋近于0研究函数的变化情况。当 Δx 趋向于0时，我们获得的函数变化率就是函数的导数，这也是导数公式的由来：

不定积分与定积分的区别,定积分与不定积分的不同

我们从微分的角度来看积分，也就是说我们来逆向思考这个过程。如果说我们获得的导数是 f'(x)，那么求导之前的函数f(x)会是什么呢？在这个问题当中，求导之前的函数称为原函数，我们写成F(x)，如果F(x)是f(x)的原函数，那么它应该满足对于任意的 x ∈ I，都有 F'(x) = f(x)。

比如说因为 f(x) = x^2 的导数是2x，所以 x^2 是2x的一个原函数。

函数和原函数的关系我们清楚，但是为了严谨，我们还需要思考一个问题，原函数一定存在吗？

这个问题看起来很绕，其实很容易想通，如果函数连续，那么原函数一定存在。高数书上说这个是原函数存在定理，但是连一句话证明也没有，可想而知它基本上已经被当成是公理了。我们来简单分析一下，如函数f(x)连续，也就是说原函数的导数存在并且连续。我们知道连续不一定可导，但可导一定连续。现在导函数存在并且连续了，那么说明原函数一定连续。如果函数不存在怎么连续呢？所以当前函数f(x)连续，说明它的原函数F(x)一定存在。

不定积分

我们搞明白了原函数之后，就可以开始不定积分的内容了。其实不定积分没什么计算内容，我倒觉得更像是映射。将当前函数映射成原函数。

也就是说，我们通过当前函数f(x)去寻找一个原函数F(x)，使得：F'(x) = f(x)，我们把这个过程倒过来写，即：

不定积分与定积分的区别,定积分与不定积分的不同