求不定积分∫x,求不定积分∫xcosxdx

goodluck • 2023年2月13日 • 头条

说起求不定积分∫x,求不定积分∫xcosxdx的知识，大家都知道，还有人问求不定积分，下面就和小编来学习一下！

本文目录一览：

1、求不定积分

2、不定积分如何求？

求不定积分

不定积分∫(2x+1)dx/(x^3-1)的计算主要内容：

本文通过分母因式分解及积分函数裂项等方面，以及对数函数、反正切函数等的导数公式等知识，介绍计算∫(2x+1)dx/(x^3-1)的主要步骤。

求不定积分∫x,求不定积分∫xcosxdx

主要过程：※.积分函数的变形

因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),

所以∫(2x-1)dx/(x^3-1)=∫(2x-1)dx/[(x-1)(x^2+x+1)],

设(2x+1)/[(x-1)(x^2+x+1)]=m/(x-1)-(mx+n)/(x^2+x+1),则有：

2x+1=m(x^2+x+1)-(mx+n)(x-1)=(2m-n)x+m+n,

根据对应项系数相等，有：

2m-n=2,

m+n=1，

解该二元一次方程可得：m=3/3,n=0/3.

此时不定积分变形为：

∫(2x+1)dx/(x^3+1)

=∫dx/(x-1)-∫xdx/(x^2+x+1)。

求不定积分∫x,求不定积分∫xcosxdx

※.函数积分具体计算：

对∫dx/(x-1)=∫d(x-1)/(x-1)=ln|x-1|;.

对∫xdx/(x^2+x+1)

=1/2*∫[ (2x+1)-1]dx/(x^2+x+1)

=1/2∫(2x+1)dx/(x^2+x+1)- 1/2∫dx/(x^2+x+1)

=1/2∫d(x^2+x+1)/(x^2+x+1)- 1/2∫dx/[(x+1/2)^2+3/4],

=1/2*ln(x^2+x+1)-1/2*4/3*∫dx/[4/3(x+1/2)^2+1],

=1/2*ln(x^2+x+1)-1/2*2/√3*∫d[2/√3(x+1/2)]/{[2/√3(x+1/2)]^2+1},

=1/2*ln(x^2+x+1)-1/√3*arctan[2/√3(x+1/2)],

所以：

∫(2x-1) dx/(x^3-1)

=ln|x-1|-(1/3)*3*ln√(x^2+x+1)+ (1/3)*3/√3*arctan[2/√3(x+1/2)]+C，

=ln|(x-1)/√(x^2+x+1)|+ 1/√3*arctan[2/√3(x+1/2)]+C。

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不定积分如何求？

一、积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

二、换元积分法

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

1、第一类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

2、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：

（1）根式代换法，

（2）三角代换法。

在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。

三、分部积分法

设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu，两边积分，得分部积分公式：∫udv=uv-∫vdu ⑴。

称公式⑴为分部积分公式。如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u，v。

扩展资料：

牛顿-莱布尼茨公式：

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。这个重要理论就是牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

如果f(x)是[a，b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么

即一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系。因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

以上就是关于求不定积分∫x,求不定积分∫xcosxdx的知识，后面我们会继续为大家整理关于求不定积分的知识，希望能够帮助到大家！

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不定积分如何求？

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